La représentation exacte de l'ensemble des réels est impossible : l'ensemble des réels est infini.
La représentation sera donc forcément approximative.
En informatique pour les nombres décimaux, on parle de nombre flottant.
Principe de base pour représenter un nombre décimal
Conversion décimale - binaire
Voici un exemple de représentation avec le nombre : 5,1875.
La partie entière est codée comme nous l'avons déjà vu.
La partie décimale utilise l'algorithme présenté dans le cadre bleu.
Exercice a
Trouvez la représentation binaire de (4,125)10
Conversion binaire - décimale
Soit le nomnbre (11,0101)2, retrouvons sa valeur décimale :
Exercices b
- Trouvez la représentation décimale de (101,010)2
- Trouvez la représentation binaire de (0,1)10
Que remarquez-vous ?
- Tester avec Edupython :
>>>0.1+0.2Que remarquez-vous ?
La norme IEEE754 date de 1985 et précise la manière de réprésenter un nombre réel.
Le codage se fait sur un nombre de bits bien défini, avec 2 formats : simple précision et double précision.
La mantisse représente la partie décimale.
Pourquoi +127 ou +1023 ?
Sur 8 bits il existe 256 valeurs différentes et l'exposant peut être positif ou négatif.
Il a donc été choisi de diviser en 2 afin d'obtenir des exposants positifs et négatif, d'où l'ajout de 127 pour le codage en simple précision.
Par exemple si la valeur de l'exposant est -5, on ne peut pas représenter un nombre négatif, pour n'avoir que des valeurs positives on ajoute systématiquement 127 à la valeur de l'exposant, donc ici -5+127 = 122.
Les valeurs inférieur à 127 représentent donc des exposants négatifs.
Faites l'exercice suivant pour vérifier que vous avez compris.
Pour le codage binaire, vous écrivez les bits par paquets de 4 en les séparant d'un espace.
Exemple
Afin de comprendre le principe de codage examinons l'exemple suivant avec un codage en simple précision :
- s'il manque des bits dans la mantisse, on ajoute des 0 à droite,
- s'il manque des bits dans l'exposant, on ajoute des 0 à gauche.
- noter les espaces entre les paquets de 4 bits pour faciliter la lecture du codage.
Déterminez la représentation au format simple précision de (0,25)10 en binaire et en hexadécimal.
Exercice d
Soit le nombre (-0.15625)10, on se propose de le représenter en simple précision avec la norme IEEE754 :
- Trouver dans un premier temps sa représentation en base 2 :
- la partie entière en n'écrivant que les bits significatifs (aucun 0 devant, sauf si le nombre est inférieur à 1) et en mettant un espace tous les 4 bits.
- la partie décimale en mettant un espace tous les 4 bits.
- Trouver ensuite la mantisse et l'exposant de votre nombre afin de respecter l'écriture suivante : 1,1011 0100 x 2+3
- Mettre un espace tous les 4 bits pour la mantisse.
- Trouver le codage en base 2 de l'exposant afin de prendre en compte le signe de l'exposant.
- Mettre un espace tous les 4 bits.
- Compléter les champs de la représentation du nombre avec la norme IEEE754
- la partie de la mantisse que vous devez remplir contient 8 bits.
- S'il manque des 0 sur la mantisse vous devez les ajouter pour obtenir 8 bits.
- Mettre un espace tous les 4 bits.
Exercice e
Tester dans python :
a=1.12e+306
b=1.1e+3
c=a*b
print(a)
print(b)
print(c)Que constatez-vous ?
Quelle est la valeur maximale possible avec la norme IEEE754 ?
Exercice f
Retrouver ci-dessous le codage IEEE754 du nombre -0.03125
